정확한 모멘트 기반 신뢰성 해석을 위한 곱 분해 기법

Abstract

In reliability analysis, the probability of failure is defined as a multiple integral of the joint probability density function over multi-dimensional failure region where a system response does not satisfy the specified design constraints. Generally, the analytical integration is practically impossible because the design constraint of engineering problems is expressed in an implicit form. Therefore, various approximation methods have been developed. Simulation method calculates very accurately the probability of failure, but requires enormous computation costs due to large sample size. Fast probability integration method searches for most probable failure point (MPP) by using Taylor series expansion of limit state function and calculates the probability of failure based on the MPP. It can be classified into first order reliability method (FORM) and second order reliability method (SORM) according to the order of approximation. However, since the fast probability integration method uses the approximate form, it provides inaccurate results when the limit state function is considerably nonlinear or non-normal distributions are considered. Moment-based reliability method uses the statistical moments of a system response such as mean and variance for calculating the probability of failure. There are full factorial moment method (FFMM), response surface augmented moment method (RSMM), dimension reduction (DR), and enhanced dimension reduction (eDR) according to the evaluation scheme of the statistical moments. Moment-based reliability method has several advantages when compared to the fast probability integration method. First of all, it can calculate accurately the probability of failure by expressing directly the nonlinearity of a system response through the statistical moments. In addition, moment-based reliability method can calculate simultaneously the probability of failure for several system responses at once due to sharing well-designed experimental design points. In spite of these advantages, however, the existing moment-based reliability methods tend to provide inaccurate moments and the probability of failure for highly nonlinear functions or functions with strong interaction. In this dissertation, multiplicative decomposition method (MD) to calculate accurately as well as efficiently the statistical moments of a nonlinear function is proposed. The basic idea of MD method is to approximate the nonlinear response as accurately as possible by using kriging model and to calculate the statistical moments by integrating explicitly the kriging model. In the proposed method, a multi-dimensional integration can be expressed in terms of the multiplication of explicit one-dimensional integrals. Thus, MD method can calculate the statistical moments of the nonlinear response accurately as well as efficiently without a numerical integration. In MD method, it is necessary to achieve accurately kriging model of the nonlinear response because the fidelity of kriging model influences heavily on accuracy of statistical moments. In this research, sequential sampling based on optimal Latin hypercube is applied in order to select adaptively sample points according to the nonlinearity of a system response. To assess rigorously fidelity of kriging model, average validation technique is proposed. For a variety of nonlinear analytical functions, the proposed validation technique is compared with cross validation technique. As a result, average validation technique measures the accuracy of kriging model more quantitatively than cross validation technique does. Moment-based reliability method using MD method is compared with other reliability methods for a variety of mathematical examples and engineering problems. As a result, the proposed method provides very accurate statistical moments and the probability of failure which are almost identical to those obtained by Monte Carlo simulation. Especially, for problems with highly nonlinear response and/or non-normal random variables, the proposed method using MD method outperforms other reliability analysis methods such as FFMM, DR, FORM, and SORM in the accuracy of statistical moments and the probability of failure.; 신뢰성 해석에서 파괴확률은 시스템 응답이 제한조건을 만족하지 않는 파괴영역에서 확률밀도함수의 다차원 적분으로 정의된다. 그러나 실제적인 공학 문제의 제한조건은 음함수형태로 주어지기 때문에 파괴확률의 해석적 적분은 실제적으로 불가능하다. 이러한 이유로 다양한 근사기법들이 개발되었다. 추출법은 다른 기법들과 비교하여 정확한 파괴확률을 제공해 주지만, 많은 추출점들에 대해서 해석을 수행하여야 하기 때문에 실제적인 공학문제에서는 적용하기 어려운 방법이다. 급속확률적분법은 한계상태방정식의 테일러 전개식을 이용하여 최대가능손상점을 찾고, 그 점을 이용하여 파괴확률을 계산한다. 이러한 급속확률적분법은 근사식의 차수에 따라 일차 신뢰성기법과 이차 신뢰성기법 등으로 분류할 수 있다. 급속확률적분법은 한계상태방정식의 근사식을 사용하기 때문에 비선형성이 강할 때나 설계변수들이 비정규분포를 따를 때 부정확한 파괴확률을 제공한다. 모멘트법은 파괴확률을 계산하기 위해 시스템 응답의 평균과 분산과 같은 통계적 모멘트들을 이용하는 방법으로 통계적 모멘트들을 계산하는 방식에 따라 전조합모멘트법, 반응표면모멘트법, 차원축소법, 개선된 차원축소법 등으로 분류할 수 있다. 모멘트법은 급속확률적분법에 비해 장점들을 가지고 있는데, 그것은 급속확률적분법보다 보다 정확하게 파괴확률을 계산할 수 있다는 것이다. 그 이유는 모멘트법이 통계적 모멘트를 이용하여 시스템 응답의 비선형성을 직접적으로 표현하기 때문이다. 또한 모멘트법은 실험계획법을 이용하여 다수의 시스템 응답에 대해서 파괴확률을 동시에 계산할 수 있는 장점이 있다. 하지만 이러한 장점에도 불구하고 기존의 모멘트법들은 비선형적인 함수나 강한 교호작용이 존재하는 문제에 대해서는 부정확한 모멘트와 파괴확률을 제공하는 단점이 있다 따라서 본 연구에서는 비선형적인 응답의 정확한 통계적 모멘트를 효과적으로 구할 수 있는 곱분해 기법을 제안한다. 곱분해 기법의 기본적인 착안점은 크리깅모델을 이용하여 비선형 응답을 정확하게 근사화하고, 크리깅모델의 수학적으로 적분함으로써 통계적 모멘트를 정확하게 계산한다. 제안된 기법에서 다차원 적분은 일차원 적분의 곱으로 표현될 수 있고, 수치적인 적분과정이 필요하지 않기 때문에 통계적 모멘트를 정확하고 효과적으로 계산할 수 있다. 곱분해 기법에서는 크리깅모델의 정확성이 모멘트의 정확성에 직접적인 영향을 미치기 때문에 정확한 크리깅모델을 얻는 것이 무엇보다 중요하다. 본 연구에서는 최적 라틴방격법을 기반으로 하는 순차적 실험계획기법을 통해 샘플점들을 구하고, 평균 검증법을 이용하여 크리깅모델의 정확성을 검증하는 기법을 제안한다. 제안된 평균 검증법을 비선형적인 수학함수들에 대해서 교차 검증법과 비교한 결과, 제안된 방법이 교차검증법보다 크리깅모델의 정확성을 보다 정량적으로 평가할 수 있었다. 그리고 제안된 곱분해 기법을 이용한 신뢰성 해석 기법은 수학함수와 공학예제들에 대해서 몬테카를로 추출법 결과와 비교할 때 매우 정확한 모멘트와 파괴확률를 제공하였다. 특히, 비선형성이 강한 문제와 비정규분포를 갖는 문제에 대해서 제안된 신뢰성 해석기법은 전조합모멘트법, 차원 축소법, 일차 신뢰성기법 그리고 이차 신뢰성기법들과 비교할 때 보다 정확한 통계적 모멘트와 신뢰도를 제공하였다.