변분 물리기반 인공신경망을 이용한 강성 보강된 보의 진동 해석

Abstract

자동차, 다리와 같은 큰 하중을 지지해야 하는 구조물에서는 지지부의 강성을 보강하여 안정성을 높인다. 하지만, 지지부의 강성이 변하게 되면 고유진동수가 달라져, 새로운 양상의 진동 문제가 발생하고 외력에 따라 피로파괴 현상이 발생할 수 있다. 따라서 시스템의 진동 특성을 미리 파악하여 공진 회피를 위한 설계가 필요하다. 진동을 해석하기 위해서는 변분 방법을 기반으로 하는 Rayleigh- Ritz method가 널리 사용되어 왔으며, 최근 각광받고 있는 딥러닝을 기반으로 지배방정식을 학습하는 물리기반 인공신경망(physics- informed neural networks, PINN)으로 진동을 해석하는 연구도 진행되어 왔다. 하지만, Rayleigh-Ritz method는 라그랑주 변환을 통해 수치 해를 구하는 과정에서 수치적으로 불안정해지는 문제가 있으며, PINN은 보 또는 평판 굽힘 진동의 지배방정식이 4차에 달하는 고차 미분에 해당하여 계산량이 크고 학습 성능이 떨어지는 문제가 있다. 본 논문에서는 이를 해결하기 위해 변분 방법을 통해 지배방정식을 weak form으로 바꾸어 보의 진동을 해석하는 변분 물리기반 인공신경망(variational physics-informed neural networks, VPINN)을 제안하였다. 본 논문에서는 시스템의 진동 특성을 파악하기 위해 정상 상태에서의 주파수 응답을 해석하였다. 또한 강성 보강된 지지부를 보로 모델링 하였고, 보의 강성은 실제 구조물과 같이 구조적 감쇠를 반영하는 복소 강성을 사용하였다. 이에 따라 감쇠에 의한 위상차를 파악하기 위해 복소 변위를 도출하는 VPINN 모델을 구축하였다. VPINN 모델은 weak form을 만족하는 근사해를 도출하기 위해 해밀턴의 원리를 학습하도록 하였다. 인공신경망의 출력을 통해 운동 에너지, 변형 에너지 그리고 외력에 의한 일을 구하여 해밀토니안을 도출하였고, 해밀토니안이 극값이 되도록 손실함수를 정의하였다. VPINN 학습을 통해 공진 주파수에서의 모드 형상 및 base로 전달되는 진동 전달률을 해석하였고, 기존의 Rayleigh-Ritz method와 비교 검증하였을 때 높은 정확도로 근사 해를 도출하는 것을 확인하였다. 또한 가중치 업데이트를 통해 손실함수를 최소화해주는 최적화 알고리즘인 optimizer로 LBFGS를 사용하여 VPINN의 성능을 극대화하였다.| In structures that require supporting large loads such as automobiles and bridges, stability is increased by stiffening. However, if the stiffness of the support changes, the natural frequency changes. It results in a new problems of vibration, and fatigue fracture may occur depending on the external force. Therefore, it is necessary to design for avoiding resonance by making a prediction of the vibration characteristics of the system in advance. The Rayleigh-Ritz method based on the variational method has been widely used to analyze vibration, and state-of-the-art research has also been conducted to analyze vibration with physics-informed neural networks (PINN) that learn governing equations based on deep learning in recent years. However, the Rayleigh-Ritz method has a problem of numerical instability in the process of calculating numerical solutions through Lagrange transformation, and PINN has a large computation amount and low learning performance due to the governing equation of beam or flat bending vibration. To solve this problem, we propose variational physics-informed neural networks (VPINN) that analyze beam vibration by changing the governing equation to weak form through a variational method. In this paper, frequency responses in steady-state were analyzed to find out the vibration characteristics of the system. In addition, the stiffened support was modeled as a beam, and the stiffness of the beam was used complex stiffness that reflects structural damping. Accordingly, a VPINN model was constructed to derive a complex displacement to find out the phase difference due to damping. The VPINN model learns Hamiltonian's principle to derive an approximate solution satisfying the weak form. Through the output of the artificial neural network, kinetic energy, deformation energy, and input work associated with the external force are calculated to derive the Hamiltonian, and the loss function is defined so that the Hamiltonian becomes an extreme value. Through VPINN, the mode shape at the resonance frequency and the transmissibility to the base were analyzed, and the approximate solution was derived with high accuracy when compared with the Rayleigh-Ritz method. In addition, the performance of VPINN was maximized by using LBFGS as an optimizer that minimizes the loss function through weight update.