입력변수 선택을 이용한 고차원 문제의 설계 목표 기반 최적화

Abstract

A general design optimization problem aims to minimize or maximize an objective function while satisfying all constraints. However, performing design optimization for high-dimensional, computationally expensive, black-box problems entails very high computational costs. Additionally, as the number of input variables increases, the computational costs for design optimization increases exponentially. Although it is important to obtain the optimum design through the general design optimization problem, the purpose of this study is to efficiently obtain the optimum design that satisfies a design target of a certain level desired by a designer or decision-maker. Therefore, a new design-target-based optimization (DTBO) problem is proposed to efficiently obtain the proposed optimum design. The DTBO optimization problem is formulated to select an input variable subset with the minimum number that satisfies the design target and all constraints. This study intends to select the input variable subset with the minimum number by using a selection-measure-based input variable selection. To calculate the selection measure, the significance of input variables on responses and the weight for each response are needed. In this regard, this study deals with three problems. The first problem is that the significance of input variables can be incorrectly analyzed by the sampling uncertainty. The second problem is that the previous method did not reasonably allocate weights for the active/inactive constraints of the design optimization problem. The third problem is that studies on efficiently selecting the input variable subset with the minimum number are insufficient. To achieve the objectives of this study, this study proposes the following three methods. First, the bootstrap methods, statistical criterion, and significance measure are used to accurately analyze the significance of input variables under the sampling uncertainty. The relevance and significance of the input variables are analyzed using the statistical criterion and significance measure based on the bootstrap confidence intervals and bootstrap replications. Second, a penalty-Lagrange multiplier (PLM) method is proposed for weight allocation by considering the design optimization problem. The penalty function method and the constraint variation sensitivity theorem are used to allocate weights for violated constraints and active constraints. Third, the DTBO using input variable selection is proposed to select the input variable subset with the minimum number. The selection measure is calculated by integrating the proposed significance analysis method and the PLM method, and forward selection of significant input variables is performed. The proposed methods were validated through mathematical examples, and the summary is as follows. It was confirmed that the proposed significance analysis method has improved accuracy compared with the elastic net. Additionally, it was confirmed that the PLM method obtained better solutions for the proposed optimum design compared with the feasible-improved weight allocation method. Finally, the DTBO was applied to the design problems of piezoelectric energy harvester, combat vehicle system, and body-in-white of a vehicle. For all three design applications, the proposed optimum design could be efficiently obtained by using the DTBO. Through this study, designers are expected to be able to obtain the optimum design that satisfies a design target and constraints for high-dimensional, computationally expensive, and black-box problems with low computational costs.|일반적인 설계 최적화 문제는 모든 제한조건을 만족하면서 목적함수를 최소화 또는 최대화하는 것이 목적이다. 하지만, 고차원, 전산적 고비용, 블랙박스 문제에 대하여 설계 최적화를 수행하는 것은 매우 높은 전산 비용을 수반하게 된다. 게다가, 입력변수의 개수가 증가할수록, 설계 최적화에 소요되는 전산 비용이 기하급수적으로 증가한다. 일반적인 설계 최적화 문제를 통해 최적 설계안을 얻는 것도 중요하지만, 본 연구는 설계자 또는 의사결정권자가 원하는 수준의 설계 목표를 만족하는 최적 설계안을 효율적으로 얻는 것을 목적으로 한다. 따라서, 제안하는 최적 설계안을 효율적으로 얻기 위해 새로운 설계 목표 기반 최적화 문제가 제안된다. 설계 목표 기반 최적화 문제는 설계 목표와 모든 제한조건을 만족하는 최소 개수의 입력변수 부분 집합을 선택하도록 정식화된다. 본 연구는 선택척도 기반의 입력변수 선택을 이용하여 최소 개수의 입력변수 부분 집합을 선택하고자 한다. 선택척도를 계산하기 위해서는 입력변수가 응답에 미치는 유의도와 각각의 응답에 대한 가중치가 필요하다. 이에 대하여, 본 연구는 세 가지 문제점들을 다루었다. 첫 번째 문제는 샘플링 불확실성에 의해 입력변수의 유의도가 잘못 분석될 수 있는 것이다. 두 번째 문제는 기존 방법이 설계 최적화 문제의 활성화 및 비활성화 제한조건에 대해 합리적으로 가중치를 할당하지 못한 것이다. 세 번째 문제는 최소 개수의 입력변수 부분 집합을 효율적으로 선택하기 위한 연구가 미흡하다는 것이다. 본 연구의 목적을 달성하기 위해, 다음 세 가지 방법을 제안한다. 첫 번째, 부트스트랩 방법, 통계적 기준, 유의도 척도를 이용하여 샘플링 불확실성 하에서 입력변수의 유의도를 정확하게 분석한다. 입력변수의 관련성과 유의도는 부트스트랩 신뢰구간 및 부트스트랩 복제를 기반으로 하는 통계적 기준과 유의도 척도를 이용하여 분석된다. 두 번째, 설계 최적화 문제를 고려한 가중치 할당을 위해 페널티-라그랑지 승수 방법을 제안한다. 페널티 함수 방법과 제한조건 변화의 민감도 정리는 위배된 제한조건과 활성화 제한조건에 대해 가중치를 할당하기 위해 이용된다. 세 번째, 최소 개수의 입력변수 부분 집합을 선택하기 위해 입력변수 선택을 이용한 설계 목표 기반 최적화를 제안한다. 제안하는 유의도 분석 방법과 제안하는 가중치 할당 방법을 통합하여 선택척도를 계산하고, 주요 입력변수의 전진 선택을 수행한다. 제안하는 방법들은 수학 예제를 통해 검증하였고, 요약하면 다음과 같다. 제안하는 유의도 분석 방법이 신축망에 비하여 정확도가 향상된 것을 확인하였다. 또한, 페널티-라그랑지 승수 방법이 유용-개선 가중치 할당 방법보다 제안하는 최적 설계안에 대해 더 좋은 해를 얻은 것을 확인하였다. 마지막으로, 설계 목표 기반 최적화를 압전 에너지 하베스터, 전투 차량 시스템, 차량의 차체 설계 문제에 적용하였다. 세 개의 설계 문제 모두, 설계 목표 기반 최적화를 이용하여 제안하는 최적 설계안을 효율적으로 도출하였다. 본 연구를 통해 설계자는 적은 계산 비용으로 고차원, 전산적 고비용, 블랙박스 문제에 대한 설계 목표와 제한조건을 만족하는 최적 설계안을 얻을 수 있을 것으로 기대된다.