불확실성 평가를 위한 적응적 차원 분해 기법의 개발 및 확률론적 최적설계로의 적용

Abstract

확률론적 최적설계는 시스템의 입력에 존재하는 불확실성을 감안하여, 주어진 설계 요구사항을 만족시키는 최적의 설계안을 도출하는 방법론이다. 그리고 불확실성 평가 기법은 입력의 불확실성에 기인한 출력의 불확실성을 정량적으로 평가하는 것으로 확률론적 최적설계를 위한 필수적인 도구이다. 따라서 불확실성 평가 기법의 효율성과 정확성은 확률론적 최적설계 기법의 성능에 직접적인 영향을 미치게 된다. 본 연구에서는 시스템의 관심응답에 대한 통계적인 모멘트와 설계 구속조건의 신뢰도를 포함하는 확률론적인 특성치들을 보다 효율적이고 정확하게 평가할 수 있는 불확실성 평가 기법을 제안하였고, 적응적 차원 분해 기법이라 명명하였다. 그리고 제안된 기법이 신뢰도기반 최적설계 및 강건 최적설계와 같은 확률론적 최적설계에 효과적으로 적용될 수 있음을 보이기 위해서, 제안된 기법을 이용하여 확률론적 최적설계를 위한 통합 프레임웍을 개발하였다. 제안된 적응적 차원 분해 기법은 원래의 다변량 함수를 요소 함수들을 이용해 분해하는 고차원 모델 표현법을 이론적 근거로 한다. 제안된 기법은 2차 고차원 모델 표현법에 의해 분해된 모든 1차 효과들을 기본적으로 포함한다. 그리고 모든 2차 효과들 즉, 모든 교호작용들 중에서, 불확실성 평가 관점에서 중요한 일부 교호작용들만을 선별하여 포함시킨다. 이런 특징으로 인해 제안된 기법은 해석 비용이 크고, 문제의 차원이 높으며, 블랙박스 형태이고, 확률변수간 교호작용이 많은 문제들에 대해서 특히, 효율적이고 정확한 불확실성 평가 결과를 제공할 수 있다. 중요한 교호작용 선별을 위해서, 본 연구에서는 각 확률변수들이 확률론적 특성치에 미치는 상대적인 영향의 평가기준인 랜덤효과를 제안하였고, 이 랜덤효과를 기반으로 하여, 중요한 교호작용을 구성하는 변수들의 인덱스 조합을 결정할 수 있는 조합규칙을 제안하였다. 또한 중요하다고 판단된 교호작용이 실제 성능함수 내에 존재하는 지를 확인하는 방법을 제안하였고, 이를 수학적으로 증명하였다. 추가적으로, 고차원 모델 표현법을 이용해 분해된 1차와 2차 요소함수들을 효과적으로 근사화하기 위해서 각각 가변 샘플링과 고정 샘플링 방법을 제안하였다. 근사화된 모든 1차 요소함수와 근사화된 일부 중요한 2차 요소함수들을 이용해 원래의 성능함수가 명시적으로 표현되면, 몬테 카를로 시뮬레이션과 같은 추출법을 이용하여 확률론적인 특성치들을 평가할 수 있다. 제안된 기법의 성능을 확인하기 위해서, 수학적인 문제와 공학적인 문제를 포함하는 5개의 문제를 문헌을 통해 선정하였고, 제안된 기법을 적용하였다. 그리고 도출된 결과를 역시 같은 문제에 대해서 일변량 차원 감소법, 이변량 차원 감소법, 전조합 모멘트법, PCE, FORM 그리고 SORM과 같은 불확실성 평가 기법을 적용한 문헌의 결과와 비교하였다. 이를 통해서 제안된 기법은 특히, 일변량 차원 감소법보다 정확하고 다른 방법들에 비해 유사한 정확성을 가지면서 보다 효율적임을 확인하였다. 본 연구에서 개발된 확률론적 최적설계를 위한 통합 프레임웍은 3가지로 구성된다. 첫째는 제안된 적응적 차원 분해 기법을 이용한 불확실성 평가 이고, 둘째는 스코어 함수 기법을 적용한 확률 민감도 해석이며, 셋째는 기존의 민감도 기반 최적화 알고리즘이다. 개발된 통합 프레임웍의 유용성을 확인하기 위해서, 4개의 신뢰도기반 최적설계 문제, 2개의 강건 최적설계 문제 그리고 1개의 공차 최적설계 문제를 문헌을 통해 선정하고, 통합 프레임웍을 이용해 해결하였다. 또한 문헌에서 제시된 각종 확률론적 최적설계 기법들의 결과와 비교하였다. 개발된 통합 프레임웍은 모든 문제들에 대해서 구속조건을 만족하는 최적해를 얻었으나, 함께 비교된 다른 기법들은 일부 문제에서 구속조건을 위배하는 결과를 보였다. 이를 통해서 제안된 불확실성 평가 기법인 적응적 차원 분해 기법과 이를 이용한 통합 프레임웍의 유용성을 확인하였다.|Probabilistic design optimization finds the optimal design taking input uncertainty in the system into account. Uncertainty assessment that quantifies output uncertainty caused by uncertain inputs is essential to the probabilistic design optimization. Therefore, the efficiency and accuracy of an uncertainty assessment method have a significant and direct effect on the performance of the probabilistic design optimization. In this study, an efficient and accurate uncertainty assessment method, named adaptive dimensional decomposition (ADD), is proposed to evaluate the probabilistic properties such as statistical moments of system performance and reliability of a constraint for the probabilistic design optimization such as reliability based design optimization (RBDO) and robust design optimization (RDO). Then, a unified framework for the probabilistic design optimization including the proposed ADD method is developed and applied to RBDO, RDO and tolerance optimization to demonstrate the usefulness of the ADD method. The ADD method is based on the high dimensional model representation (HDMR) which represents a multivariate function using component functions. The ADD method modifies the second-order cut-HDMR to enhance efficiency without deteriorating accuracy. The ADD method does not include all the second-order effects (also referred to as interaction effects) in the HDMR, but includes some significant interaction effects from the viewpoint of the uncertainty assessment. This notable feature of the proposed method can provide more efficient and accurate results for the so-called high dimensional, expensive, and black-box problems with lots of interactions between input random variables. In this study, “random effect” (RE) that measures the relative effect of each random variable on the probabilistic properties of a performance function is devised, and a RE based combination rule which makes a reduced set of index pairs is proposed to identify significant interaction effects. Also, a one-point checking scheme is presented to make sure that the significant interaction actually exists in the performance function, and mathematically proven in this paper. Additionally, a variable sampling method and a fixed sampling method are proposed for meta-modeling of the one- and two-dimensional component functions in HDMR, respectively. In the proposed method, once the meta-model based second-order cut-HDMR with some significant interaction effects is defined, the probabilistic properties are evaluated by the Monte Carlo simulation using Latin hypercube sampling. The proposed method is applied to five uncertainty assessment problems including mathematical, engineering and structural problems. The results are compared with those of competing methods including UDR, BDR, FFMM, PCE, FORM and SORM in the literature. The comparison results reveal that the proposed method is more accurate than the UDR and more efficient than the others. In this study, a unified framework for the probabilistic design optimization is developed. It includes: (a) an uncertainty assessment module using the proposed ADD method; (b) a probabilistic design sensitivity analysis module using the score function (SF) method; and (c) a gradient-based optimization module. The unified framework developed is applied to four RBDO problems, two RDO problems and one tolerance optimization problem, and optimization results obtained are compared with those obtained using a variety of other probabilistic optimization methods. For all seven probabilistic design optimization problems, the unified framework employing ADD method yields more accurate and/or efficient optimum solutions than those obtained by other probabilistic optimization methods. This demonstrates the superiority of the proposed ADD method to other competing methods.; Probabilistic design optimization finds the optimal design taking input uncertainty in the system into account. Uncertainty assessment that quantifies output uncertainty caused by uncertain inputs is essential to the probabilistic design optimization. Therefore, the efficiency and accuracy of an uncertainty assessment method have a significant and direct effect on the performance of the probabilistic design optimization. In this study, an efficient and accurate uncertainty assessment method, named adaptive dimensional decomposition (ADD), is proposed to evaluate the probabilistic properties such as statistical moments of system performance and reliability of a constraint for the probabilistic design optimization such as reliability based design optimization (RBDO) and robust design optimization (RDO). Then, a unified framework for the probabilistic design optimization including the proposed ADD method is developed and applied to RBDO, RDO and tolerance optimization to demonstrate the usefulness of the ADD method. The ADD method is based on the high dimensional model representation (HDMR) which represents a multivariate function using component functions. The ADD method modifies the second-order cut-HDMR to enhance efficiency without deteriorating accuracy. The ADD method does not include all the second-order effects (also referred to as interaction effects) in the HDMR, but includes some significant interaction effects from the viewpoint of the uncertainty assessment. This notable feature of the proposed method can provide more efficient and accurate results for the so-called high dimensional, expensive, and black-box problems with lots of interactions between input random variables. In this study, “random effect” (RE) that measures the relative effect of each random variable on the probabilistic properties of a performance function is devised, and a RE based combination rule which makes a reduced set of index pairs is proposed to identify significant interaction effects. Also, a one-point checking scheme is presented to make sure that the significant interaction actually exists in the performance function, and mathematically proven in this paper. Additionally, a variable sampling method and a fixed sampling method are proposed for meta-modeling of the one- and two-dimensional component functions in HDMR, respectively. In the proposed method, once the meta-model based second-order cut-HDMR with some significant interaction effects is defined, the probabilistic properties are evaluated by the Monte Carlo simulation using Latin hypercube sampling. The proposed method is applied to five uncertainty assessment problems including mathematical, engineering and structural problems. The results are compared with those of competing methods including UDR, BDR, FFMM, PCE, FORM and SORM in the literature. The comparison results reveal that the proposed method is more accurate than the UDR and more efficient than the others. In this study, a unified framework for the probabilistic design optimization is developed. It includes: (a) an uncertainty assessment module using the proposed ADD method