Algebraic structure for lattice gauge systems and entanglement order under local operations and classical communication

Abstract

양자정보이론에서 양자 시스템은 힐버트 공간 위에서 수학적으로 기술된다. 또한, 두 개 이상의 양자 시스템으로 구성된 전체 양자 시스템이 기술되는 힐버트 공간은, 각각 국소 시스템들의 힐버트 공간들의 텐서 곱으로 표현될 수 있다. 그러나 페르미온 또는 게이지장과 같은 양자 시스템에서 전체 시스템은 그러한 방식으로 기술될 수 없다. 본 연구에서는, 격자 게이지 시스템이 갖는 게이지 불변성과 같은 제약조건이 주어졌을 때, 국소공간의 observable들의 집합으로서 대수적 구조를 정의했고 특히 국소연산들의 집합을 정의했다. 또한 제약조건이 주어졌을 때, 국소연산과 고전통신을 이용해서 변환될 수 있는 여부에 따라 양자상태들을 분류하였다. 즉, 양자상태들의 얽힌 정도에 따른 양자얽힘 순서를 연구하였다. 양자정보이론에서 두 개의 큐디트 (qudit) 시스템의 순수 상태에 대한 양자얽힘 순서는 majorization 이론을 통해 알려져 있다. 우리는 특수한 제약시스템에서의 양자얽힘 순서를 보이고, 그 순서가 기존 양자정보이론에서 큐디트 시스템의 순서와 다른, 반-직관적인 구조를 가짐을 보인다.; In quantum information theory, one of the most important concepts is entanglement. It is the concept dividing quantum theory from other classical theories. We introduce entanglement order to study the entanglement in unusual constrained quantum systems such as lattice gauge systems with a gauge constraint. Prior to quantifying the entanglement of a state of a quantum system, it is required to determine which state is more entangled among two given states of the constrained quantum system, that is, to find the entanglement order. This work is based on a classification of quantum states under local operations and classical communication (LOCC). An unconstrained quantum system is usually described with a Hilbert space and a quantum system consisting of local systems can be represented on a tensor product of Hilbert spaces of the local systems. However, since a constrained system consisting of local systems cannot be represented in this way, needs for an alternative mathematical structure arise. In this thesis, we define an algebra of local observables and the set of local operations as a mathematical structure for constrained quantum systems. With this algebraic structure, we find the entanglement orders for constrained quantum systems and observe that the entanglement of constrained systems has some different properties from that of unconstrained systems.