Swing-up Control of a Second-Order Nonholonomic Underactuated Mechanical System with Flexibility

Abstract

본 연구는 유연 관절을 갖는 2 링크 불충분구동 로봇의 스윙-업(swing-up)을 위한 제어 방법에 관한 것이다. 대상 시스템은 2 링크의 직렬형 매니퓰레이터 형태이다. 첫 번째 관절이 회전 스프링으로 표현 가능한 유연 수동 관절이며 이로 인해 불충분구동 시스템으로 분류한다. 이 시스템이 임의의 자세에서 나란히 위쪽으로 뻗은 상태에 도달하는 것을 스윙-업이라고 한다. 본 연구의 목표는 임의의 상태에서도 대상 시스템의 스윙-업이 가능한 제어기 및 조건의 도출이다. 시스템의 이해를 위해 목표 자세 부근에서의 선형 제어가능성을 먼저 확인하였다. 불충분구동 시스템의 특성 상 모든 상태에서 직접적으로 제어 가능하다고는 말할 수 없다. 하지만 목표 자세 부근에서의 제어가능성 확인을 통해 시스템의 안정성 가능 여부를 먼저 확인할 수 있다. 목표 자세에서 선형 근사모델을 도출하고 이의 제어가능성을 따졌다. 이로부터 목표 자세에서 안정성을 보장할 수 없는 스프링 상수의 조건을 도출한다. 다음으로 시스템이 2차 비홀로노믹 구속 조건을 가짐을 증명하였다. 시스템 모델링은 운동 방정식과 구속 조건으로 이루어진다고 할 수 있다. 불충분구동 시스템은 일부 관절이 자유로운 관계로 비홀로노믹 구속 조건을 가질 확률이 높다. 최근 불충분구동 시스템의 제어 분야에서는 구속 조건의 종류에 따라 클래스를 나누고 접근 방식을 정립하려는 시도가 이어지고 있다. 이에 본 연구에서는 기존에 다룬 적 없는 시스템을 제시하고 2차 비홀로노믹 구속 조건이 존재함을 증명하였다. 시스템의 안정성을 보장하는 제어기 도출을 위해 Lyapunov’s direct method를 이용하였다. 시스템의 총에너지와 능동 관절의 위치 값을 반영한 Lyapunov 함수를 이용하여 간단한 PD 제어기를 도출하였다. PD 제어기를 이용하면 시스템이 언제나 평형 점으로 수렴함을 증명하였다. 또한 스프링 상수와 비례 이득이 특정 조건을 만족하면 전역 안정성을 보장함을 증명하였다. 이를 통해 특정 값 이상의 스프링 상수가 존재하는 경우 임의의 상태에서도 간단한 PD 제어를 이용해 불충분구동 시스템의 스윙-업이 가능함을 보였다. PD 제어의 전역 안정성을 보장할 수 없는 조건에 대해 에너지 기반 제어를 위한 Lyapunov 함수를 제안하였다. 또한 도출한 에너지 기반 제어기가 특이점을 가지지 않을 조건을 제시하고 증명하였다. 제어기 적용 시의 동작 해석을 통해 시스템이 수렴하는 집합을 도출하였다. 수학적 증명을 통해 불변 집합의 구성을 보이고 시스템이 목표 자세에 수렴하는 경우와 그렇지 않은 경우에 대해 설명하였다. 이 과정으로부터 임의의 상태에서도 스윙-업이 가능한 제어기와 시스템의 조건을 도출, 증명하였다. 불충분구동 시스템은 시스템의 자유도 보다 적은 수의 입력으로 인해 직접적인 제어가 불가능하다. 이러한 단점을 일부라도 보완해보고자 유연 수동 관절이 부착된 시스템을 제안하였다. 스윙-업 시 시스템의 안정성을 보장할 수 있는 제어기 도출을 위해 Lyapunov’s direct method를 이용하였다. 이 과정에서 간단히 PD 제어 형태가 가능한 시스템의 조건을 증명하였다. 또한 그 외의 경우 에너지 기반 제어를 이용할 수 있음을 보였다. 다양한 시뮬레이션을 통해 각종 정리와 보조 정리를 만족하지 않는 경우 시스템이 어떻게 동작하는지 보이고 조건 만족 시 임의의 상태에서 스윙-업이 가능함을 보였다. 대상 시스템은 스프링으로 표현 가능한 유연 수동 관절을 부착함으로써 평형 상태를 임의로 설계할 수 있는 가능성을 확인하였다. 또한 시스템의 관성을 이용하는 제어 방법과 특이점 회피를 위한 해석 방법을 제시한 것에 의의가 있다. 이는 간단한 작업을 반복하는 경우에 대해 불충분구동 매니퓰레이터를 적용하기 위한 연구로 확장할 수 있을 것이다.