Statistical Model Calibration over Design Domain using Multi-fidelity Kriging Surrogate Model and Chebyshev Interval Metric

Abstract

최적 설계와 같은 의사 결정을 효율적으로 수행하기 위해 사용되는 시뮬레이션 모델의 정확성은 의사 결정 결과에 큰 영향을 미치기 때문에 모델의 신뢰도를 확보 하는 것은 매우 중요하다. 때문에 CAE 분야에서는 수많은 시간 동안 다양한 방법을 이용하여 시뮬레이션 모델의 정확성을 높이기 위한 모델 보정 연구들이 수행되어왔다. 일반적으로 모델 보정은 모델 입력 변수 중에서 정확한 값을 알기 어려운 변수의 조정을 통해 실험결과와 시뮬레이션 모델의 차이를 최소화 하는 하나의 최적화 과정을 통해 시뮬레이션 모델의 정확성을 향상시킨다. 이 과정에서 실험과 시뮬레이션 응답을 고려하는 방식에 따라 확정론적 모델 보정과 통계적 모델 보정으로 나뉘며, 그 중에서도 통계적 모델 보정은 실험과 시뮬레이션 모델에 존재하는 다양한 불확실성 요소들을 보정 과정에서 고려하기 때문에 확정론적 모델 보정에 비해 실제 현상과 더 유사하게 시뮬레이션 모델을 보정 할 수 있는 방법으로 제안되었다. 통계적 모델 보정 연구들은 주로 시뮬레이션 모델과 실험에 존재하는 불확실성을 정확하게 다루는 방법에 초점을 맞춰 수행되어왔다. 응답의 정확한 통계 정보를 도출하기 위한 불확실성 정량화 연구, 정량화 된 응답 불확실성간의 통계적 차이를 계산하기 위한 통계적 교정 척도 연구가 집중적으로 수행되어왔다. 이러한 불확실성 관련 연구들이 수행됨에 따라 시뮬레이션 모델의 정확성은 점점 향상되어왔다. 하지만 기존의 통계적 모델 기법들은 대부분 전체 설계 영역을 고려하지 못한 채 수행되었다는 문제가 있었다. 하나의 고정된 설계점에서 보정을 수행하였기 때문에 보정이 수행된 설계점에서의 모델의 정확성은 높지만, 그 외의 설계영역에서 모델의 정확도는 보장되기 어렵다. 또한, 입력 변수만의 조정을 통한 모델의 보정 과정은 전체 설계 영역에서 응답 경향성 변화를 주기 어렵기 때문에 전체 설계 영역에 대한 정확도를 향상시키기 어렵다. 기존의 모델 보정 연구들은 모델 검증 기법을 이용하여 이를 보완하려 하였지만, 정확성을 향상시키는 과정이 아닌 정확성에 대한 확인만이 수행 되었다. 본 논문에서는 전체 설계 영역에서 시뮬레이션 모델의 정확성을 향상시키기 위하여 설계 영역에 대한 통계적 모델 보정 기법을 제안한다. 제안한 기법은 두 가지 방법으로 구성된다. 첫 번째로 전체 설계영역에서 실험과 시뮬레이션 응답의 경향성 차이를 줄이기 위해 다중 충실도 크리깅 대체모델을 도입한다. 다중 충실도 대체 모델링 기법은 계산 비용이 비싸고 정확한 고충실도 데이터와 계산 비용이 싸지만 정확도가 떨어지는 저충실도 데이터를 융합하여 최소의 비용으로 고충실도 모델을 정확하게 예측 할 수 있는 대체모델을 생성하는 기법이다. 제안한 모델 보정 기법에서는 실험의 데이터를 고충실도 데이터로, 시뮬레이션 모델의 데이터를 저충실도 데이터로 사용하여 전체 설계영역에서 실험의 응답을 예측할 수 있는 대체모델을 생성하여 실험과 시뮬레이션 모델의 응답 경향성 차이를 최소화 하였다. 두 번째로 전체 설계 영역에서 실험과 시뮬레이션 응답의 통계적 차이 계산을 위해 불확실성 시계열의 유사성 측정 기법인 체비셰프 유사성 측정 기법을 이용한 체비셰프 구간 척도를 제안한다. 설계 영역을 고려한 통계적 모델 보정 척도는 하나의 설계점에서만 통계적 차이를 계산되는 기존의 척도들과 다르게 전체 설계 영역에서 통계적 차이를 계산할 수 있어야 한다. 또한, 보정과정에서 최적화가 수행되기 때문에 보정 척도의 계산 비용이 작을수록 유리하다. 체비셰프 유사성 측정 기법은 체비셰프 부등식을 용하여 응답의 불확실성을 확률 구간의 형태로 모델링 하고 통계적 차이를 계산하기 때문에 계산 과정에서 통계적 가정이 필요하지 않고 계산 비용이 작은 장점이 있다. 제안한 기법에서는 체비셰프 유사성 측정 기법의 시간을 설계 변수로 치환하여 체비셰프 구간 척도로 정의하고, 이를 이용하여 전체 설계 영역에서 실험과 시뮬레이션 응답 불확실성의 유사성을 계산한다. 실험과 시뮬레이션 모델에 대한 다중 충실도 크리깅 대체모델을 생성하여 전체 설계 영역에서의 응답의 경향성 차이를 줄인 후, 모델 입력 변수 조절을 통한 체비셰프 구간 척도의 최대화를 통해 전체 설계 영역에서 모델의 정확도를 향상시킨다. 제안된 통계적 모델 보정 기법의 정확성 확인을 위하여 두 가지의 수학 예제와 공학 예제를 수행하였다. 수학 예제로는 응답이 설계 변수에 대하여 단조증가하는 예제와 비선형성이 큰 예제를 선정하였고, 기존의 통계적 모델 보정과의 비교를 수행하였다. 기존의 기법의 경우, 전체 설계 영역을 고려하지 못하였기 때문에 보정이 수행된 설계점에서는 정확도가 향상되었으나 그 외의 영역에서는 정확성이 낮은 것을 확인하였다. 반면에, 제안한 기법은 두 가지 예제 모두 전체 설계 영역에서 시뮬레이션 모델의 정확도를 향상시키는 것을 확인 할 수 있었다. 공학 예제로는 압전 에너지 하베스터의 시뮬레이션 모델 보정을 수행하였다. 압전 하베스터 기판의 길이를 설계 변수로 선정 후 길이를 변화 시켜 6개의 실험 set을 제작하고 실험을 수행하였다. 그 중 5개의 실험 set는 모델 보정 과정에, 1개는 보정된 모델의 검증에 사용하였다. 상용 유한요소해석 프로그램 COMSOL Multiphysics를 이용하여 하베스터 시뮬레이션 모델을 구축하고, 모델 입력 변수 중 압전 상수 d_31을 보정 파라미터로 선정하여 모델 보정을 수행하였다. 모델 보정 결과, 기존의 기법은 검증 점에서 실험과 시뮬레이션 모델의 평균 오차가 23.2113%에서 32.1577%로 증가하였지만, 제안한 기법의 경우 0.1705%로 감소한 것을 확인하였다. 예제를 통해 제안한 기법이 전체 설계 영역을 효과적으로 고려하여 시뮬레이션 모델의 정확성을 향상 시키는 것을 확인하였다.; In various fields such as engineering and sciences, since the accuracy of simulation model has a great influence on the decision-making results using them, increasing the accuracy of the simulation results has been of great interest for a very long time. Numerous studies have been carried out to improve the accuracy of the simulation model. Among them, model calibration has been developed as a method of improving model accuracy by adjusting input parameters of models, known as tuning parameters, that are difficult to know exact values. The model calibration is divided into deterministic and statistical methods. Among them, the statistical approach has received a lot of attention recently as an accurate calibration method because it performs model calibration in consideration of various uncertainties that may exist in the experimental and simulation models. Statistical model calibration (SMC) performs model calibration considering that the responses of the experimental and simulation models are not deterministic but follow a probability distribution due to the various uncertainties. For that reason, studies on uncertainty quantification to derive accurate statistical information about the uncertainty of the responses have been intensively conducted. In addition, statistical calibration metric methods, which calculates the statistical distance between the quantified uncertainties have been introduced based on various statistical theories. As these various uncertainty studies have been conducted, the accuracy of the SMC has gradually increased, but most of these methods didn’t consider the whole domain of the design variables. Most of the existing SMC methods performed the calibration for the experimental and simulation responses at one design point. Although the accuracy of the calibrated simulation model at the design point can be greatly improved, it is difficult to guarantee the accuracy in the other design points where the calibration was not performed. Through the model validation process after SMC, it was possible to confirm the accuracy of the model at the other design points, but the process of increasing the accuracy was not included in the model validation. Besides, since the unknown input parameters of the model are usually not the functions of design variables, the concept of the existing SMC methods, which increase the accuracy of the simulation model only by adjusting the unknown input parameters, hard to change the tendency of the response over the design domain. Therefore, in order to improve the accuracy of the simulation model in the entire design domain, a new model calibration method of a different concept than the existing SMC is needed. In this dissertation, a statistical model calibration over design domain (SMCDD) method is proposed to improve the accuracy of the simulation model throughout the entire design domain. The proposed method consists of two methods. First, in order to enhance the tendency of the experiment and simulation response in the entire design domain, a multi-fidelity modeling technique is introduced. The multi-fidelity modeling is a method that utilizes both low-and high-fidelity data to improve the prediction accuracy while minimizing cost of high-fidelity data extraction. By performing the multi-fidelity modeling using the limited experimental data and the simulation model, the difference between the experiment and the simulation model in the entire design domain can be effectively reduced. In the proposed method, the difference between experimental and simulation responses is reduced by using the co-kriging surrogate model which is a multi-fidelity modeling method based on the kriging surrogate model. Second, to calculate the difference in the uncertainty of experimental and simulation responses across the entire design domain, an uncertain time series (UST) similarity measure method is introduced as calibration metric. Existing calibration metric methods calculated the statistical difference of the response uncertainty only in the response domain without considering the design variable. Therefore, for the expansion of SMC to the design domain, a new calibration metric that calculates statistical difference considering design variables is needed. In the proposed method, the time domain of the Chebyshev similarity measure (CSM) method is replaced by a design variable and is defined as a calibration metric called Chebyshev interval (CI) metric. Using the co-kriging surrogate model and CI metric, SMCDD can reduce the statistical difference of the experiment and simulation over the entire design domain. To validate the proposed method, two mathematical examples are performed. Through the mathematical examples, it is confirmed that the proposed method performs model calibration well in the entire design domain for problems with linear and nonlinear response characteristics. Also, the performance of the proposed method is verified through comparison with the existing SMC method. As an engineering example for SMCDD, experimental data is obtained through the actual production of piezoelectric energy harvester, and the simulation model of the harvester is calibrated in the design domain. The results show that the proposed method improves the accuracy of the model in the entire design domain.