FINITE ELEMENT ANALYSIS WITH PARAXIAL BOUNDARY CONDITIONS FOR ELASTIC WAVE PROPAGATION

Abstract

비파괴 탐상, 기초의 진동, 그리고 지진학적 문제 등의 다양한 동적문 제들의 해석적 연구에 대한 합리적인 접근방법은 이러한 문제들을 무한 및 반무한 영역에서 파의 진행문제로서 고려하는 것이다. 그러나 파가 진행하는 매질의 복잡한 기하학적 형상이나 비균질성 등은 이러한 파진 행문제의 해석해를 찾는 것을 어렵게 만들거나 불가능하게 만들며, 따 라서 유한요소법 또는 유한차분법 등의 수치적인 방법들이 요구되어진 다. 그러나 무한한 영역을 모형화한 수치모델은 유한한 크기를 가지고 있기 때문에 경계면에서의 적절한 조치가 주어지지 않는다면 반사파가 발생하게 된다. 따라서 파의 진행문제를 수치모델로 모형화하기 위해서 는 경계에 도달하는 에너지를 흡수하기 위한 특수한 장치가 요구되어 진다. 흡수경계는 수치모델의 경계면에 적용되어 반사파를 제거함으로서 무 한영역을 유한영역으로 모형화하기 위해 사용되는 수학적인 인공경계이 며, 지난 30년 동안 여러 연구자들에 의해 제안되었고 다양한 목적을 가지고 사용되어져 왔다. 이러한 흡수경계는 해석영역내의 한 점의 해 가 시간 및 공간적으로 다른 점의 해와 서로 연관성을 가지고 있는 비 국부경계(nonlocal boundary)와 연관성을 가지고 있지 않은 국부경계 (local boundary)로 나눌 수 있다. 비국부경계는 수치모델의 경계에 도달하는 파의 에너지를 완벽히 흡 수시키는 반면 주파수에 종속적이어서 비선형 해석을 불가능하게 만들거나 또는 물리적 조건에 따라 경계조건을 찾는 것을 어렵게 만든다. 이러한 단점을 극복하기 인해 국부경계가 개발되었으며 현재까지 대부 분의 파진행 문제의 수치해석에 사용되어져 왔다. 그러나 국부경계는 성능은 우수하나 경계면에 도달하는 파의 에너지를 완벽히 흡수시키지 는 못하며, 따라서 수치모델 내에 반사파가 존재하게 된다. 일부의 국부 경계는 (전파 방정식의 근사화 기법을 예로 들 수 있으며 이러한 기법 은 가장 많은 연구가 수행되어져 왔고 성능이 우수한 것으로 알려져 있 다.) 경계조건의 근사화 차수를 높임으로서 이러한 반사파를 좀 더 효 과적으로 제거할 수 있게 되었으나, 이때 발생되는 다양한 편미분 항들 로 인해 유한요소 해석으로의 적용이 어렵게 되었다. 본 연구에서는 이와 같이 유한요소해석으로의 적용이 어려운 국부경 계를 유한요소 해석에 적용시키는 연구를 수행하였다. 이때 국부경계 중 성능이 우수하며 일반적으로 가장 많이 알려져 있는 paraxial 경계조 건을 선택하여 연구를 수행하였다. 유한요소 해석을 위해 벌칙함수기법 을 이용하여 paraxial 경계조건을 전체 에너지 범함수에 포함시켜 변분 정식화시켰으며, 이때 발생되는 범함수에 대해 그 극값의 존재성과 유 일성을 입증하였다. 유도된 범함수의 수치해석을 통해 paraxial 경계조건 에 대한 유한요소해석이 가능함을 확인 하였다. 또한 국부경계 중 우수 한 특성에도 불구하고 다른 국부경계에 비해 상대적으로 성능이 떨어지 는 것으로 알려져 있는 점성경계의 성능을 파가 진행하는 매질의 특성 과 경계면으로의 입사각에 따라 향상시키는 연구를 수행하였다. 경계면 에서 입사파와 반사파의 에너지비를 이용하여 점성경계의 성능을 향상 시킬 수 있었으며, 수치해석시 경계면으로 입사하는 체적파 및 전단파 의 진폭을 고려하여 점성경계조건을 적용함으로서 흡수율을 향상시킬 수 있음을 확인하였다. 이때 수치해석을 위해 paraxial 경계조건과 점성 경계조건을 포함할 수 있도록 유한요소 프로그램을 개발하였으며, 이를 이용하여 각 경계조건의 성능을 조사하였다.; In many dynamic problems, the analysts are confronted with the problem of wave propagation in infinite or semi-infinite media. The complex geometry or/and non-homogeneity disturb or prohibit to find the closed-form solutions to those problems. In this reason the numerical techniques are needed. But since such discrete models used are necessarily finite in size, echoes would develop at the artificial boundaries if no appropriate action was taken. Absorbing boundaries are mathematical artifacts used to prevent wave reflections at the boundaries of discrete models for infinite media under dynamic loads. A number of these boundaries have been proposed in the past three decades and used with various degrees of success. The collection of absorbing boundaries can be grouped into two broad classes: nonlocal and local absorbing boundaries. Nonlocal boundaries are exact, robust, accurate, and stable, but some of those are properly defined only in the frequency domain, and cannot be used for problems involving material nonlinear effects. And for some of those the exact condition is not available or is too complicated to be practical. For these reasons, a number of local absorbing boundaries have been proposed. Local absorbing boundaries may be good energy absorbers, but they are not perfect ones, therefore, a residual echo may be present in the solution. However, the accuracy of some classes of the local absorbing boundaries can be increased by taking higher order approximations for boundary conditions. But the various sequences of such boundary conditions make the absorbing boundary conditions have complex mathematical forms with partial derivatives, and thus this complicates the application of such local absorbing boundary conditions to finite element analysis. In this study, two studies are performed. One is to apply the paraxial boundary condition (PBC) which is one of local boundary conditions based on paraxial approximations of the one-way wave equations to the finite element analysis. To do this, a penalty functional is newly proposed and the existence and uniqueness of the extremum of the proposed functional is demonstrated. The other is to improve the capacity of the absorbing boundary using dashpots. To do this, the viscous boundary condition (VBC) is modified to maximize the efficiency according to angles of incidence and materials. For the numerical analysis of elasticity with the PBC and the modified VBC, the coding of the finite element models is implemented, and the efficiency of those boundary conditions is investigated. The penalty functional newly proposed in this study enables to derive the functional including not only the total potential energy but also the PBC in elastic media and thus to analyse the elasticity problems with the PBC. Consequently, it may be expected that the proposed approach can be applied to any local boundary condition based on approximations of the one-way wave equations. Using the concept of energy ratio between the reflected waves and the incident wave, the efficiency of the VBC can be improved for an arbitrary angle of incidence and materials. Moreover, if the magnitude of the amplitudes of the compressional and the shear waves is considered when the modified VBCs are applied, the capacity of the viscous boundaries can be improve.