크리깅 메타모델을 이용한 라틴방격추출법에 의한 신뢰도 기반 최적설계

Abstract

확적론적 최적설계에서는 모델링 과정이나 가공 및 운전 과정에서 발생하는 불확실성의 영향에 대한 고려 없이 단순하게 최적해를 구속조건의 경계에 위치시킨다. 이러한 문제점을 해결하고 불확실성을 정량화하면서 신뢰성 있는 기계 시스템을 설계하기 위해서는 신뢰도 기반 최적설계(RBDO) 기법이 설계 단계에서 도입되어야 한다. RBDO의 정식화 모델에서는 확정론적인 구속조건식이 확률론적 구속조건으로 대체된다. 이러한 구속조건식은 보통 한계상태식으로 불리며 파괴확률을 계산하는 과정, 즉 신뢰도 해석(RA)이 필요하다. RA 방법론은 크게 추출법, 전개방법, 최대 가능 손상점(MPP) 기반 방법, 그리고 근사적분방법 등으로 구분할 수 있다. 추출법은 가장 포괄적인 방법이지만 수치적 비용이 너무 큰 단점을 지닌다. 전개방법은 시스템의 응답에 대한 통계적인 모멘트를 급수 전개와 같은 방법으로 구한다. 따라서 고차항에 대한 편미분식을 계산하는 과정이 요구되는 단점이 있다. MPP 기반 방법은 가장 널리 사용되는 RA 기법이지만 많은 MPP가 존재하는 경우에 오히려 수치적 비용과 오차가 증가하는 문제점을 가진다. 근사적분법은 수치적분을 통해서 통계적 모멘트나 확률밀도함수(PDF)를 계산하고 피어슨 시스템(Pearson system)을 통해서 파괴확률을 예측한다. 하지만 피어슨 시스템은 4차 모멘트항만으로 시스템의 PDF를 예측하기 때문에 비선형이 강한 시스템일 경우 정확한 결과를 기대할 수 없다. 특히, MPP 기반 방법과 같이 신뢰도 지수(reliability index) 개념을 이용하여 RA를 실시하는 경우, 실제 랜덤 공간에서 표준 정규분포 공간으로 변환하는 과정이 필요하다. 이러한 변환과정은 한계상태식의 비선형성을 증가시켜 RA 결과에서 큰 오차를 발생시킨다. 하지만, 본 논문에서 제안하는 RBDO 기법에서는 순차적 샘플링 기법인 제한조건 경계 샘플링(Constraint Boundary Sampling)을 이용하여 한계면을 정확하게 근사하는 Kriging 메타모델을 효율적으로 생성하고 파괴확률을 예측하는 RA 기법을 사용한다. 따라서 FORM이나 SORM이 가지는 문제점을 해결하였고 특히, MPP 탐색과정이 불필요하다는 장점을 가진다. 제안된 기법은 Kriging 메타모델을 기반으로 라틴방격추출법(LHS)를 실시하고 이 결과로부터 파괴확률뿐만 아니라 민감도 정보를 제공하기 때문에 기울기 기반 최적화 알고리즘을 RBDO에 적용할 수 있다. 그리고 이동최소자승법(Moving Least Squares)을 이용하여 계단형태의 누적분포함수(CDF)를 연속적인 함수형태로 제공한다. 또한, 스마트 초기 비활성화 설계(Smart Initial Inactive Design)를 이용하여 RBDO의 수렴속도를 향상시킨다. 다음으로 수학적인 예제와 구조물 설계 문제를 통해서 제안된 기법의 효율성을 검정하였다. 마지막으로 제안된 기법의 정확성을 검증하기 위해서 몬테카를로 시뮬레이션을 통해서 RBDO해가 확률 구속조건을 만족하는지 평가하였다.; In a deterministic design optimization, the optimal designs are usually pushed to the limit of the constraints boundaries, leaving little or no margin for uncertainty. Consequently, the resulting deterministic optimum is obtained without considering influence of uncertainties inherently present during the mathematical modeling and manufacturing or operating process and need to be accounted for in the design process. To address this problem, Reliability-Based Design Optimization (RBDO) method is necessitated to be a sufficiently reliable engineering system design and assess uncertainties such as material properties, loads, etc. In a RBDO formulation, the critical deterministic constraints are replaced with probability constraints corresponding to probability of failure. Probability failure (or reliability) of a structure (or mechanical system) in the form of a limit state function can be calculated in four different ways: 1) sampling method; 2) expansion method; 3) the Most Probable failure Point (MPP)-based method; and 4) approximate integration method. The sampling method is most comprehensive but very expensive to use as an uncertainty assessment tool. The expansion methods have been traditionally employed to predict statistical moments of system responses with a small perturbation. The major limitation of these methods is that they require expensive calculation of higher-order partial derivatives. The MPP-based method, such as First Order Reliability Method (FORM) and Second Order Reliability Method (SORM), has been a most commonly used approach to compute the failure probability. But it may lead to large error and become expensive if the multiple MPPs exist. The approximate integration method which estimate the PDF or statistical moments by using numerical integration calculate the probability of failure using Pearson system and the only first four statistical moments. Although the approximate integration method gives accurate probabilistic quantities, it may provide a relatively large error of highly nonlinear response. In all kinds of reliability analysis techniques based on MPP concept like a reliability index to obtain the probability of failure, the original random variables is transformed to a standard normal independent random variables by a one-to-one transformation. However, if he Rosenblatt transformation, widely used to map non-normal random variables into standard normal space, yields a highly nonlinear limit state function and give rise to large errors. However, the proposed RBDO methodology based on a simulation method with the Kriging metamodel and Constraint Boundary Sampling (CBS), which is sequential sampling for creating Kriging metamodel, is proposed to estimate efficiently the failure of probability. This reliability analysis method does not exhibit the limitations of MPP-based methods, such as FORM/SORM. The major advantage of developed method is that a MPP search is not required and it provides more computationally efficient than the Direct Monte Carlo Simulation (MCS). The Latin Hypercube Sampling (LHS) applied to the Kriging metamodel is used in this work to assess the uncertainty in a design can be incorporated with a gradient based optimizer for RBDO. Because the proposed method can make use of analytic sensitivities and smoothness of probability of failure estimate using the cumulative distribution function (CDF), which is constructed by moving least squares (MLS) method. RBDO starts at a smart initial inactive design (SIID) point to have a high-speed convergence. Several numerical examples involving mathematical functions and structural design problem are used to demonstrate the effectiveness of the proposed method. Finally, the reliability is evaluated using the Monte Carlo Simulation to evaluate the accuracy of the proposed method.