해-경계 치환법을 이용한 타원형 경계치 문제의 준해석 설계민감도해석

Abstract

시뮬레이션 기반의 최적설계문제, 신뢰성해석, 다분야통합설계 등의 문제는 많은 설계민감도 정보를 필요로 하기 때문에 효율적이고 정확한 설계민감도해석 방법의 개발이 필요하다. 따라서 이러한 설계문제에서 유한요소해석 프로그램과 효율적으로 연동하는 설계민감도해석 기법이 연구되어왔다. 지금까지 개발된 이산계의 설계민감도해석 연구는 크게 유한차분법, 해석적방법, 준해석방법 등의 세가지로 구분된다. 유한차분법은 이해가 쉽고 구현이 단순한 이점이 있지만 설계변수가 많은 경우 막대한 계산비용이 문제가 되어왔다. 이산화된 유한요소방정식을 직접 미분하여 설계민감도식을 얻는 해석적방법은 계산비용 면에서 매우 효율적이며 정확하기 때문에 유용하게 이용될 수 있다. 하지만 현재 개발되어 사용되고 있는 유한요소해석 프로그램의 종류는 매우 다양하며, 일반 유한요소프로그램의 사용자가 프로그램의 내부 정보를 사용할 수 있는 방법은 극히 제한적이기 때문에 해석적 방법은 다양한 실제 설계문제에 적용이 어렵다. 해석적 설계민감도해석 방법으로 유도한 설계민감도식 중에서 필요한 미분항을 수치적으로 구하는 준해석방법은 계산의 효율이 뛰어나고 구현이 용이하기 때문에 실제 설계문제에 적용될 수 있는 설계민감도해석 기법으로 활발하게 연구되고 있다. 그러나 현재 개발되어 있는 준해석기법들은 해석적 방법에 비하여 구현이 용이하지만 일반 사용자가 접근하기 어려운 계수행렬이나 변환행렬 등을 이용해야 한다. 또한 다양한 종류의 요소가 한 문제에 포함되어 있을 경우 프로그램 개발이 복잡해지는 등의 단점이 있다. 또한 비선형 문제와 연성해석 문제의 경우 유한요소해석 프로그램 내부 소스 코드에 대한 접근 없이 준해석기법을 이용한 민감도해석 방법은 거의 연구되어 있지 않다. 따라서 다양한 종류의 유한요소 프로그램과 요소 형태에 구속 받지 않고 유한요소해석 프로그램 외부에서 쉽고 효율적으로 설계민감도해석을 수행하는 일반적 기법의 개발이 필요하다. 본 연구에서는 공학문제에서 많이 사용되는 정적 구조, 정상 열전도, 정적 전자기 문제 등을 포함하는 선형 및 비선형 타원형 경계치 문제의 특성을 분석하고 이를 바탕으로 유한요소해석 프로그램 외부에서 설계민감도해석을 수행하기 적합한 준해석방법을 기반으로 하는 설계민감도해석 기법을 제안한다. 준해석방법을 이용한 설계민감도해석을 수행하기 위해서는 효율적이고 정확한 가상하중의 계산이 필수적이다. 설계민감도해석에 필요한 가상하중은 설계변수에 대한 내력의 편미분으로 표현된다. 이러한 편미분을 수치적으로 구현하기 위해, 본 연구에서는 해석결과로 제공되는 모든 절점의 해를 유한요소모델에 가상경계조건(admissible pseudo boundary)으로 재적용하는 해-경계 치환법을 제안한다. 제안된 방법을 이용하면 가상 경계조건에서 해석결과로 주어지는 반력을 이용하여 가상하중을 쉽고 정확하게 구할 수 있다. 기존 준해석법의 경우 유한요소프로그램의 내부정보인 강성행렬 및 변환행렬 등의 정보를 이용하기 때문에 구현이 어려운 단점이 있다. 하지만 제안된 기법의 경우 대부분의 유한요소해석 프로그램의 기본적인 해석결과 정보만을 이용하여 타원형 경계치 문제에 대한 정확하고 효율적인 설계민감도해석을 수행할 수 있다. 또한 기존에 해석적 기법으로만 수행할 수 있었던 비선형 문제 및 연성문제의 설계민감도해석을 유한요소 프로그램 내부정보의 접근 없이 수행 할 수 있다. 따라서 본 연구에서 제안한 설계민감도 기법을 이용하면 요소의 종류 및 프로그램의 종류와 버전 등에 상관없이 민감도해석을 효율적으로 수행할 수 있다. 제안된 기법을 선형 및 비선형 정적 구조문제, 정상 열전도문제, 정적 전자기 문제 및 각각의 연성문제 등의 타원형 경계치 문제에 적용하였다. 설계민감도해석 예제를 수행하고 해석적 민감도 값을 구할 수 있는 경우 이와 비교하였으며, 그 외의 예제에서는 유한차분법과 비교하여 정확성을 검증한다. 또한 전자기-구조 연성문제의 최적설계를 수행하여 유한차분법과의 비교를 통해 제안된 기법의 효율성을 검증하였다.|Recently, finite element analysis programs are commonly used for the design of engineering problem. Although finite element program can quite well provide the responses for complicate problems, it cannot provide enough information to improve the design such as design sensitivity. In general, the design sensitivity coefficients can be computed by the finite difference method. But the finite difference method requires additional analysis as many as the number of design variables. Therefore, effective design sensitivity analysis of a finite element program is necessary for practical applications. Design sensitivity analysis can be implemented inside or outside of a finite element program. Methods performing design sensitivity analysis outside of a finite element program have been studied. But these methods require a profound knowledge of source code of a finite element program. And design sensitivity equation must be programmed at the development stage of a finite element program. So, this method is hard to implement and cost too much. Design sensitivity analysis that implemented outside of a finite element program can be performed without access to the source code. However, even this method still requires development of external module to calculate pseudo load from large amount of system matrix information. In this paper, an effective computational technique, so-called ‘admissible pseudo boundary’, is proposed for the semi-analytical design sensitivity analysis of an elliptic boundary value problem. In this method, solutions of original elliptic boundary value problem can be applied as input Dirichlet boundary conditions of original and perturbed finite element model. With this method, we can calculate pseudo load even in nonlinear problem and coupled problem using only reaction force that provided as a nodal result of the finite element program. This method does not require a source code nor internal information of the finite element program. Numerical examples and optimization problems are illustrated to show the accuracy and efficiency of the developed method. Based on numerical studies, we can conclude that the proposed method can provide robust and efficient design sensitivity for both linear and nonlinear elliptic boundary value problem.; Recently, finite element analysis programs are commonly used for the design of engineering problem. Although finite element program can quite well provide the responses for complicate problems, it cannot provide enough information to improve the design such as design sensitivity. In general, the design sensitivity coefficients can be computed by the finite difference method. But the finite difference method requires additional analysis as many as the number of design variables. Therefore, effective design sensitivity analysis of a finite element program is necessary for practical applications. Design sensitivity analysis can be implemented inside or outside of a finite element program. Methods performing design sensitivity analysis outside of a finite element program have been studied. But these methods require a profound knowledge of source code of a finite element program. And design sensitivity equation must be programmed at the development stage of a finite element program. So, this method is hard to implement and cost too much. Design sensitivity analysis that implemented outside of a finite element program can be performed without access to the source code. However, even this method still requires development of external module to calculate pseudo load from large amount of system matrix information. In this paper, an effective computational technique, so-called ‘admissible pseudo boundary’, is proposed for the semi-analytical design sensitivity analysis of an elliptic boundary value problem. In this method, solutions of original elliptic boundary value problem can be applied as input Dirichlet boundary conditions of original and perturbed finite element model. With this method, we can calculate pseudo load even in nonlinear problem and coupled problem using only reaction force that provided as a nodal result of the finite element program. This method does not require a source code nor internal information of the finite element program. Numerical examples and optimization problems are illustrated to show the accuracy and efficiency of the developed method. Based on numerical studies, we can conclude that the proposed method can provide robust and efficient design sensitivity for both linear and nonlinear elliptic boundary value problem.