직관주의 논리와 다치 논리 비교 연구

Abstract

국문초록

직관주의 논리와 다치 논리 비교 연구 : 브라우어와 루카시에비치를 중심으로

루카시에비치와 브라우어는, 둘 다 결정 안 된 명제를 인정한다는 공통점이 있다. 루카시에비치는 필연이 아닌 가능이라는 개념으로 결정 안 된 명제를 이해하려 한다. 이러한 루카시에비치의 기본적인 생각은 브라우어의 문제 의식하고도 연결이 된다고 볼 수 있다. 브라우어의 직관주의 또한 가능이라는 개념으로 결정 안 된 명제를 이해 할 수 있기 때문이다. 그것은 브라우어가 수학이라는 존재를 인간이 만들어가는 것으로 보기 때문이다. 그러나 직관주의는 직관적인 자연수론에 바탕 할 경우, 필연적인 것으로 이해할 수도 있다. 괴델이 제시한 직관주의에 대한 해석과 이에 따르는 공리계는 이러한 점을 보여준다고 할 수 있다. 그리고 위에서의 공리계를 통해 괴델은 직관주의 논리와 양상논리와의 연결 관계를 보여주고 있는데, 이 연결 관계에서 사용되고 있는 양상개념과 방법을 루카시에비치의 삼치 논리에 적용할 경우, 루카시에비치의 삼치 논리 내의 양상기호들에 의해 고전논리와 직관주의 논리는 루카시에비치의 삼치 논리로 바뀔 수 있다. 괴델이 제시한 직관주의 논리와 양상논리 S4체계와의 관계는 맥킨지와 타르스키에 의해 대수적 의미론이라는 방법을 사용해 증명하고 있다. 이러한 대수적 방법은 루카시에비치의 다치논리 체계에서도 중요하다고 할 수 있는데, 루카시에비치의 삼치논리 체계 L3를 일반화 시킨 Ln은 논리적 대수 체계에 의해 직관주의 논리와 연결되기 때문이다. 루카시에비치는 가능이라는 개념을 통해, 하나의 가능이 있는 삼치논리(three-valued logic)과 함께, 무한히 많은‘가능’들이 있는 무한다치논리(infinite- valued logic)을 생각하게 된다. 그런데 브라우어가 생각하는 수학이라는 것은 인간의 머리 속에서 자유롭고 창조적인 지적 행위에 의해 건설되어지는 것이다. 이러한 건설물들은 무한히 많은 가능이라는 개념으로 이해 할 수 있으며, 이러한 이해를 바탕으로 브라우어의 직관주의 수학과 루카시에비치의 무한다치논리가 연결될 수 있을 것으로 보여 진다.