A Study on the Proper Orthogonal Decomposition Based Approach for Solving Inverse Problems: Hydraulic Transient Flow and Heterogeneous Reaction

Abstract

고성능 컴퓨팅의 발전과 성숙에도 불구하고, 높은 충실도의 물리 기반 수치 시뮬레이션은 많은 엔지니어링 분야에서 계산 집약적이다. 예를 들어 Inverse problem, fast-turnaround design, 실험 분석, 제어 및 불확도 정량화와 같은 많은 엔지니어링 응용분야에서 고해상도 시뮬레이션을 사용하는 것은 필요충분조건이다. 이러한 공학문제 중 매개 변수 평가, 시스템의 오류 감지와 같은 inverse problem은 모델 매개 변수를 결정적으로 또는 통계적으로 계산하기 위한 inverse solver로 불리는 최적화 알고리즘이나 Monte Carlo Markov chain (MCMC)을 사용한다. 이 알고리즘들은 고 충실도 시뮬레이션의 반복 계산을 필요로 하기 때문에 모델 매개 변수를 신속하고 정확하게 추측하여 대규모 문제에 사용할 수 있도록 하는 것은 매우 도전적인 과제 중 하나이다. 이런 계산 예산 문제를 해결하기 위해 본 논문은 POD (Proper Orthogonal Decomposition)를 사용하는 모델 매개 변수 역전 프레임워크를 제안한다. 적합 직교 분해는 차원을 축소시키고 소수의 에너제틱한 기저함수를 사용하여 솔루션 벡터를 나타내며 PDE를 지배방정식으로 하는 inverse problem에 적용할 때 빠르고 정확한 솔루션 (종종 오류 범위 및 안정성 보장 포함)을 제공하는 것으로 알려져 있다. 그러나 이전 연구에서 POD는 전향 적 문제를 해결할 때 전산 비용을 관리하기 위해서만 축소 주문 모델 (Reduced Order Model, ROM)로 적용되었습니다. 이러한 접근 방식은 계산 집약적인 알고리즘을 사용하는 접근에서 탈출할 수 없는 한계점을 갖고 있다. 따라서 본 논문에서는 결정론적 접근법과 통계적 접근법을 위한 새로운 비 침입 추론 적 직교 분해/기계 학습 접근법과 Galerkin 투영 방법을 소개한다. 전자는 off/online 단계로 구성되어 전산 비용을 관리한다. 오프라인 단계에서 계산 예산의 대부분을 차지하는 최적의 POD 부분 공간 계산 및 기계 학습의 감독 학습을 포함한 두 가지 최적화가 사전 계산하기 때문에 온라인 단계에서 실시간 매개 변수 공제가 가능하다. 이 접근법은 또한 인공 지능의 관점에서 POD를 기계 학습의 차원 감소를 위한 특징 추출로 채택했다고 볼 수 있다. 제안된 방법의 타당성을 검증하기 위해 특성과 성능을 최적화 알고리즘을 사용하는 기존의 반전과 비교하였다. 또한 차원의 저주를 피하기 위해 추가 수정을 도입하였다. 결정론적 접근법을 대체하는 제안된 역 솔버에 더하여, Galerkin 투영법이 통계적 접근을 위한 전략으로 적용되었다. 마지막으로 올바른 직교 분해의 정확도는 기저의 품질에 의존한다. 따라서 이 논문은 그리디 샘플링, 적응 샘플링, 특성 벡터 추출 및 견고한 포인트 보간을 제안한다.; Despite the advance and maturation of high-performance computing, practical applications of high-fidelity physics-based numerical simulations remain computationally intensive in many engineering fields. Since numerical approaches enable rigorous computation of the solution defined by the complex behavior of the system with a huge number of degrees of the freedom, various engineering applications utilize numerical simulations (e.g. inverse problem, fast-turnaround design, control, and uncertainty quantification). Among those engineering applications, the inverse problems such as parameter evaluation, failure detection of the system employ an optimization algorithm or Bayesian called as an inverse solver to compute model parameter deterministically or statistically. These algorithms are requiring iterative computation of high-fidelity simulation; thus, enabling rapid, accurate inference of model parameters to allow them to be used in the large-scale problem is one of the most challenging tasks in terms of management of the computational budget. To address this issue, this thesis proposes the model parameter inversion framework utilizing proper orthogonal decomposition the proper orthogonal decomposition reduces the order of dimension and represents the solution vector by using the first few energetic basis functions and has been known to generate fast and accurate solutions (often with error bounds and stability guarantees) when applied to problems governed by partial differential equations. However, in previous researches, proper orthogonal decomposition is applied as a reduced order model only to manage computational cost in solving forward problem. These approaches could not escape from the strategy requiring the computationally intensive inverse solver. Thus, this thesis introduces a novel non-intrusive inferential proper orthogonal decomposition /machine learning approach and a Galerkin projection method for the deterministic and the statistical approach, respectively. The former consists of off/online phase to manage computational cost. In the offline phase, two optimizations including optimal proper orthogonal decomposition subspace computation and supervised learning of machine learning occupying most of the computational budget are precomputed. Hence, in online phase, a real-time parameter deduction is possible. This approach also can be explained in a viewpoint of Artificial Intelligence as follows, proper orthogonal decomposition is adopted as feature extraction (or selection) for a dimensionality reduction of machine learning. To validate the feasibility of the proposed method, the characteristics and performance were compared with a conventional inversion using optimization algorithm. As a result, proposed method shows outstanding performance compared to conventional deterministic approach in the artificial inverse problem which is a leak detection in water distribution network. In addition, a further modification of the proposed method has introduced to avoid the curse of dimension. In addition to the proposed inverse solver which is replacing the deterministic approach, the Galerkin projection method is applied as an alternative strategy for statistical approach. As a final note, the accuracy of proper orthogonal decomposition relies on the quality of basis. Thus, this thesis suggests greedy sampling, adaptive sampling, characteristic vector extraction, and robust point interpolation method.