양자 게이트의 주기성과 도이치-조자 알고리즘의 확장에 대한 연구

Abstract

본 논문에서는 m큐빗 양자 게이트를 2^m x 2^m행렬 M으로 표현했을 때 고윳값과 주기성을 알아보기 위해 2^(-m) tr(M^n)를 살펴본다. 먼저 행렬의 고윳값 및 대각화에 대한 여러 성질을 유도하였으며, 이를 통해 아다마르 게이트 H의 텐서 곱 H^(⊗m)의 고윳값과 주기를 살펴보았다. 또한, 페레스 게이트 P를 정의하고 고윳값과 주기를 살펴보았다. 토폴리 게이트 Tof, 유니터리 시프트 게이트 U_8, 프레드킨 게이트 FK, 위상 게이트 V_8 등 3큐빗의 양자 게이트를 정의하고, H^(⊗m), P와 함께 총 6개의 양자 게이트 중 2개를 선택하여 곱한 양자 게이트 30개에 대한 고윳값을 통한 주기성을 살펴보았다. 이를 위해 양자 게이트의 고윳값은 교환법칙이 성립함을 증명하여, 분석할 양자 게이트 수를 15개로 줄였다. 연구 결과 두 양자 게이트의 텐서 곱과 고윳값의 관계는 알 수 있지만, 두 게이트의 곱과 고윳값의 관계는 알 수 없음을 알 수 있었다. 그리고 양자 게이트의 주기의 존재성은 고윳값을 극좌표계 {e^(θ_j πi)}_(j=1,…,2^m)로 표현했을 때 모든 θ_j가 유리수임과 동치임을 증명하였다. 특히, 주기가 있는 경우 N=min{k∈ℕ| kθ_j /2 ∈ ℤ, ∀j=1,…,2^m}이 양자 게이트의 주기임을 증명하였다. 마지막으로 상수 함수와 균형 함수가 있는 여러 형태의 게이트의 행렬 형태에 대해 살펴보았다. 상수 함수는 항등 행렬 I_2와 파울리 X게이트를 이용하여 표현할 수 있음을 알 수 있었으며, HXH=Z임을 알 수 있었다. 또한, 균형 함수는 controlled 게이트와 관련이 있음을 확인하였으며 특정 경우 CNOT 게이트와 토폴리 게이트와 같은 게이트를 얻을 수 있음을 확인하였다. 이를 이용하여 U_(f_1 ,…, f_n-1 )를 정의하고 이에 대한 행렬 표현 및 H^(⊗n)∘U_(f_1 ,…, f_n-1 )∘H^(⊗n)의 행렬 및 주기를 계산하는 방법을 제시하였다.