수치적 비용을 고려한 신뢰성 해석 기법의 비교 연구

Abstract

시스템의 불확정성은 치수 및 형상의 변동, 재료의 물리적 특성이나 화학적 변화, 측정 및 가공 장비의 정밀도, 작업장의 기온이나 습도 등과 같은 요인들에 의해 발생한다. 신뢰도 해석은 이와 같은 입력 변수의 불확정성으로 인한 시스템 응답의 불확정성을 파괴확률로 정량화하는 확률 통계적인 방법이다. 신뢰성 해석 방법에는 크게 급속 확률 적분법, 점추정법, 추출법이 있다. 점추정법과 추출법이 시스템 응답의 값만을 이용하는 반면, 급속 확률 적분법은 시스템 응답을 근사화하기 위해 민감도 정보를 필요로 한다. 상용 해석 프로그램을 사용하는 실제 문제의 경우 민감도 정보를 얻기 위해서는 추가적으로 많은 양의 해석을 수행하여야만 하며 이것은 수치적으로 큰 부담이 된다. 따라서 본 연구에서는 점추정법과 추출법만을 사용한다. 본 연구에서는 가용한 수치적 비용의 크기에 따라 정확성이 높은 실용적인 신뢰성 해석 기법을 제시하고자 한다. 이를 위하여 점추정법과 추출법을 이용하는 세 가지의 신뢰성 해석 기법을 선정하고 각각의 신뢰성 해석 기법들에 대해 비교연구를 수행한다. 첫 번째 기법은 점추정법을 이용한 방법이고, 두 번째 기법은 메타모델링을 통하여 시스템 응답을 근사화한 후 이 메타모델에 몬테카를로 추출법을 적용하는 방법이며, 세 번째 기법은 라틴방격추출법을 이용하는 방법이다. 세 가지 기법의 정확성을 비교하기 위해서 각각의 기법을 신뢰성 해석에 필요한 함수 해석 횟수에 따라 세 단계로 나누어 여섯 개의 대표적인 예제에 적용하였다. 세 단계는 실험 계획법에 기반하여 설계변수의 개수가 개 일 때, 각각 2n+1, 2^n+2n+1, 3^n 으로 설정하였다. 회의 함수 해석을 하는 경우에는 세 번째 기법을 적용하기에는 해석 횟수가 너무 작으므로 첫 번째와 두 번째 기법만을 비교하였고, 첫 번째 기법이 두 번째 기법에 비해 더 정확함을 확인하였다. 회의 함수 해석을 하는 경우에는 적당한 점추정법이 없으므로 첫 번째 기법은 배제하고 두 번째와 세 번째 기법만을 비교하였으며, 두 번째 기법이 세 번째 기법에 비해 더 정확함을 확인하였다. 마지막으로 회의 함수 해석을 하는 경우에는 세 가지의 기법을 모두 비교하였고, 첫 번째와 두 번째 기법의 정확도가 세 번째 기법에 비해 월등함을 확인하였다. 세 번째 기법인 라틴방격추출법을 이용한 신뢰성 해석은 매우 좋지 않은 결과를 보여주는데 이는 비교연구에서 적용한 함수 해석 횟수가 이를 적용하기에는 매우 적기 때문이다. 그래서 본 논문에서는 라틴방격추출법을 이용하여 정확한 결과를 얻기 위해 필요한 함수 해석 횟수를 알아보기 위한 연구를 추가적으로 수행하였다. 연구 결과 여섯 개의 예제에 대해 정확한 결과를 얻기 위해서는 약 에서 회의 함수 해석이 필요함을 확인하였다. 파괴확률의 값이 작아지거나, 시스템 응답 함수의 비선형성과 입력 변수의 비정규성이 커진다면 라틴방격추출법을 이용하여 정확한 결과를 얻기 위해 필요한 함수 해석 횟수는 더욱 커지게 된다.; Uncertainty of a system is caused by variation in physical characteristics of material, exactness of measuring and manufacturing equipments, and temperature and/or humidity at workplace. Reliability analysis uses statistical methods that consider the uncertainty of design variables and evaluate the probability of failure of the mechanical or structural system. There are three major methods for reliability analysis - fast probability integration method, point estimate method, and sampling method. Point estimate method and sampling method use only function values of system response function, while fast probability integration method needs sensitivity information to approximate the system response function in random space. In case of practical problems requiring the use of commercial CAE tools for their analyses, evaluation of sensitivity information imposes a considerable computational burden. Thus, we employed only the point estimate method and the sampling method in this study. As reliability analysis techniques for the practical problems requiring the use of commercial CAE tools for their analyses, we suggested three approaches that require relatively small number of function evaluations; (1) calculating statistical moments by using point estimate methods and evaluating the probability of failure by using the probability density function estimation methods, (2) building an approximate model of system response by using metamodeling methods and evaluating the probability of failure by employing the Monte Carlo simulation on the generated metamodels, and (3) employing the Latin hypercube sampling method. In order to compare the numerical performance of the three approaches suggested, they are applied to six representative sample problems with using three levels of the number of function evaluations required for reliability analysis. We selected the three levels as 2n+1, 2^ n+2n+1, and 3^n (n is the number of random input variables) based on the design of experiments employed. In case of using 2n+1 function evaluations, we compared only the first and second approaches since the number of function evaluations is too small to apply the third approach, and the first approach was found to be more accurate than the second approach. In case of using 2n+2n+1 function evaluations, we compared only the second and third approaches since there is no appropriate point estimate method using 2n+2n+1 function evaluations, and the second approach was found to be more accurate than the third approach. In case of using 3n function evaluations, we compared all three approaches and the accuracies of the first and second approaches were found to be comparable and much better than the third approach. Latin hypercube sampling, the third approach, yielded very poor results since even 3n+1 function evaluations are too small to apply it. So, we further studied the number of function evaluations required to get the reasonably accurate results for the six sample problems with using Latin hypercube sampling. The number of function evaluations required was found to range from about 80n to about 3400n. The more function evaluations were required as the value of the probability of failure gets smaller, the system response function more nonlinear, and the nonnormality of input random variables bigger.